Einführung

Die Zahlen von eins bis zehn

Für die Pythagoreer hatte jede Zahl bis zehn ein eigenes Wesen: die Monas als Ursprung, die Dyas als Gegensatz, die Fünf als Ehe und die Sieben als mutterlose Jungfrau. Was die alten Zahlenbücher über jede einzelne sagen, was davon Mathematik ist und was Deutung.

Für uns sind Zahlen Werkzeuge. Man zählt mit ihnen, man rechnet mit ihnen, und keine ist wichtiger als die andere. Für die Pythagoreer war das anders. Jede Zahl bis zehn hatte ein eigenes Wesen, eine eigene Gestalt und eigene Namen. Man legte sie mit Steinchen aus und betrachtete, welche Figur entstand, und aus der Figur und den Rechenbeziehungen las man ihren Charakter. Diese Lehre heißt Arithmologie, und sie ist eine der Wurzeln der Zahlensymbolik bis heute.

Die wichtigsten Quellen sind Nikomachos von Gerasa, der um 100 n. Chr. eine Einführung in die Arithmetik und eine verlorene Theologie der Zahlen schrieb, und ein Buch aus dem 4. Jahrhundert, die Theologumena arithmeticae, das Auszüge aus älteren Schriften sammelt. Dazu kommen Philon von Alexandria, der die Zahlen der Schöpfungsgeschichte pythagoreisch deutete, und verstreute Bemerkungen bei Aristoteles und Plutarch.

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Die Zahlen von eins bis zehn als Figuren aus Punkten, mit ihren griechischen Namen. Ein Tipp auf eine Zahl zeigt ihre Figur und was die alten Zahlenbücher in ihr sahen.

Die Eins und die Zwei

Die Monas, die Einheit, war für die Griechen noch gar keine Zahl. Euklid definiert die Zahl als eine „aus Einheiten zusammengesetzte Menge“, und eine Menge braucht mindestens zwei. Die Eins ist der Ursprung, aus dem alle Zahlen hervorgehen, so wie der Punkt keine Größe hat und doch jede Linie beginnt. Man nannte sie Gott, Form, Mitte und Same.

Die Dyas, die Zweiheit, ist die erste Vielheit. Mit ihr beginnen die Trennung, das Andere und der Gegensatz. Die Pythagoreer stellten der Eins das Unbegrenzte gegenüber, Platon machte daraus in seiner mündlichen Lehre die „unbestimmte Zweiheit“, aus der zusammen mit dem Einen alles entsteht. Sie ist die erste gerade Zahl und stand deshalb für das Weibliche (siehe Das Männliche und das Weibliche). Zwei Punkte bestimmen eine Linie.

Die Drei und die Vier

Die Trias ist für Aristoteles die erste Zahl, die das Ganze bezeichnet, denn sie hat Anfang, Mitte und Ende. „Von zweien sagen wir beide, nicht alle“, bemerkt er, erst bei dreien sagt man „alle“. Mit drei Punkten entsteht die erste Fläche, das Dreieck, und deshalb wurde die Drei zur Zahl der Vollständigkeit, in der Religion wie in der Freimaurerei (siehe Polygone und Sternpolygone in der Freimaurerei).

Die Tetras ist die erste Quadratzahl, und sie hat eine Eigenschaft, die keine andere Zahl hat: 2 + 2 = 2 × 2. Was sie gibt, empfängt sie zurück, und deshalb war sie für die Pythagoreer das Bild der Gerechtigkeit, die jedem Gleiches mit Gleichem vergilt. Vier Punkte schließen den ersten Körper ein, das Tetraeder. Und mit der Vier ist die Tetraktys vollständig, 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (siehe Vom Punkt zum Körper).

Die Fünf und die Sechs

Die Pentas vereint die erste gerade und die erste ungerade Zahl, 2 + 3, und hieß darum Ehe. Plutarch erklärt es so: Das Gerade sei weiblich, das Ungerade männlich, und die Fünf entstehe aus ihrer Verbindung. Ihre Figur ist das Fünfeck mit dem Pentagramm darin, nach späten Berichten das Erkennungszeichen der Pythagoreer, die es „Gesundheit“ nannten (siehe Das Pentagramm und der Goldene Schnitt).

Die Hexas ist die erste vollkommene Zahl: Sie ist gleich der Summe ihrer Teiler, 1 + 2 + 3 = 6. Zugleich ist sie ihr Produkt, 1 × 2 × 3 = 6. Philon schreibt, Gott habe die Welt in sechs Tagen geschaffen, nicht weil er Zeit gebraucht hätte, sondern weil die Ordnung eine Zahl brauchte und die Sechs die vollkommenste sei. Euklid hat am Ende des neunten Buchs der Elemente gezeigt, wie man gerade vollkommene Zahlen findet, und Euler bewies zweitausend Jahre später, dass es keine anderen geraden gibt. Ob es ungerade gibt, ist bis heute offen. Die nächsten sind 28, 496 und 8128.

Die Sieben

Keine Zahl hat die Alten so beschäftigt wie die Heptas. Sieben Planeten zogen am Himmel, nach ihnen waren die sieben Tage der Woche benannt, und der Mond wechselt etwa alle sieben Tage seine Gestalt. Die Pythagoreer nannten sie nach der Göttin Athene, die ohne Mutter aus dem Kopf des Zeus geboren wurde und selbst keine Kinder hatte. Der Grund ist rechnerisch: Unter den Zahlen bis zehn ist die Sieben die einzige, die weder als Produkt anderer entsteht noch durch Verdoppeln oder Vervielfachen eine andere hervorbringt. Die Zwei erzeugt die Vier, die Drei die Neun und die Fünf die Zehn. Die Sieben erzeugt nichts. Sie ist mutterlos und jungfräulich.

Es gibt aber auch eine anschauliche Sieben: Um einen Kreis passen genau sechs gleich große Kreise, und zusammen sind es sieben (siehe Kreis, Dreieck und Quadrat). Für Philon ist die Sieben der Tag der Ruhe, an dem die Schöpfung vollendet ist.

Die Acht und die Neun

Die Ogdoas ist der erste Würfel, 2 × 2 × 2. Der Würfel hat 12 Kanten, 8 Ecken und 6 Flächen, und 12 : 8 : 6 ist ein harmonisches Verhältnis, dieselben Zahlen, die auf der Saite Oktave, Quinte und Quarte ergeben. Darum nannten Anhänger des Philolaos den Würfel „geometrische Harmonie“ (siehe Zahl und Klang). Bei den Gnostikern ist die Achtheit die erste Stufe des Pleroma (siehe Die Gnostiker und die dreißig Äonen).

Die Enneas ist das Quadrat der Drei und die letzte Zahl vor der Zehn. Man nannte sie „Horizont“, weil sie an der Grenze steht, hinter der das Zählen von vorn beginnt, und „Okeanos“, nach dem Strom, der nach alter Vorstellung die Erde umfließt.

Die Zehn

Die Dekas schließt den Kreis. Mit ihr kehrt das Zählen zur Einheit zurück, und in den meisten Sprachen beginnt danach eine neue Runde, weil wir an zehn Fingern zählen. Für die Pythagoreer war sie die vollkommene Zahl schlechthin, denn sie ist die Summe 1 + 2 + 3 + 4 und enthält damit alle Stufen vom Punkt bis zum Körper. Man nannte sie Kosmos, Himmel und das All, und im Eid der Pythagoreer erscheint sie als Tetraktys: Man schwor bei dem, der „die Tetraktys überliefert hat, die die Quelle und Wurzel der ewig fließenden Natur enthält“ (siehe Die antiken Quellen).

Was davon Mathematik ist

Wer die alten Zahlenbücher liest, findet darin zweierlei, und es lohnt sich, beides zu trennen (siehe Zufall und Muster).

Die linke Spalte ist sicher, jeder kann sie nachrechnen. Die rechte ist Deutung. Sie ist nicht willkürlich, denn sie knüpft an die linke an, aber sie folgt nicht aus ihr. Dass 2 + 2 = 2 × 2 ist, macht die Vier nicht gerecht. Es macht sie zu einem schönen Bild der Gerechtigkeit, und mehr haben die besten unter den alten Autoren auch nicht behauptet.

Wie es weiterging

Die Zahlenbücher der Pythagoreer wurden im Mittelalter weitergeschrieben, bei Augustinus, bei Boethius und bei den Gelehrten der Schule von Chartres (siehe Maß, Zahl und Gewicht). In der Kabbala lassen sich die zehn Sefirot nach demselben Muster lesen, das ist eine Deutung (siehe Die Kabbala). Und 1591 veröffentlichte Giordano Bruno ein ganzes Buch, De monade, numero et figura, in dem er die Zahlen von eins bis zehn als Figuren im Kreis darstellte (siehe Giordano Bruno).

Übung

Nimm zehn Münzen oder Steinchen und lege jede Zahl von eins bis zehn auf möglichst viele Arten aus, als Reihe, als Rechteck, als Dreieck oder als Kreis. Notiere, welche Zahlen sich als Rechteck legen lassen und welche nicht, welche als Dreieck und welche als Quadrat. Du wirst die Primzahlen finden, die Dreieckszahlen und die Quadratzahlen, ohne ein einziges Mal zu rechnen. So haben die Pythagoreer gearbeitet.

Quellen und Literatur

Quellen

• Nikomachos von Gerasa, Einführung in die Arithmetik, um 100 n. Chr.
• Theologumena arithmeticae (Die Theologie der Zahlen), Iamblichos zugeschrieben, 4. Jh. n. Chr., mit Auszügen aus Nikomachos, Anatolios und Speusippos
• Philon von Alexandria, Über die Weltschöpfung 13 bis 14 und 89 bis 128
• Aristoteles, Metaphysik A 5, 985b bis 986a, und Über den Himmel I 1, 268a
• Plutarch, Über das E in Delphi 8 und Über Isis und Osiris 56
• Euklid, Elemente VII, Definitionen 1 und 2, und IX 36
• Giordano Bruno, De monade, numero et figura, Frankfurt 1591

Zum Weiterlesen

• Robin Waterfield (Übers.), The Theology of Arithmetic, Grand Rapids 1988
• Walter Burkert, Weisheit und Wissenschaft. Studien zu Pythagoras, Philolaos und Platon, Nürnberg 1962